«Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики»

На рубеже XIX—XX веков в результате открытия парадоксов теории множеств стало очевидно, что логические и философские основы математики несовершенны и требуют переосмысления. Это стало причиной ожесточенного интеллектуального противостояния, участники которого по-разному стремились устранить обнажившиеся противоречия. В книге «Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики» («Издательство Института Гайдара»), переведенной на русский язык Артемом Смирновым, журналист Джейсон Сократ Барди рассказывает, как математики Давид Гильберт (формализм), Бертран Рассел (логицизм) и Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (интуиционизм) состязались за право определить вектор развития этой дисциплины в XX веке. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, в котором Давид Гильберт раздумывает о возможности аксиоматизировать математику и включается в поиск уравнений общей теории относительности.

Глава 10. Относительность + репа: 1915–1916

В начале войны Давид Гильберт поглощен проблемами физики, как и многие годы до этого. Он преподает статистическую механику. Он напряженно работает, пытаясь вывести математику, описывающую молекулярную и электронную структуры материи. И он преподает практически все остальные темы прикладной математики, популярные в то время.

Два предвоенных года он посвятил кинетической теории газов — математической системе, которая представляет газ (вполне точно) как облако быстро движущихся атомов и молекул, отскакивающих от стенок сосуда и сталкивающихся друг с другом. Гильберт организовал в своем университете симпозиум по кинетической теории, на котором собрался «звездный состав» физики. Там был Макс Планк, говоривший о квантовой теории. Был и Петер Дебай, только что назначенный профессором физики в Геттингене; он говорил об уравнениях состояния и теплопроводности. Присутствовал также Вальтер Нернст, знаменитый своим уравнением для расчета восстановительных потенциалов в окислительно-восстановительных реакциях. И Хендрик Антон Лоренц, один из первооткрывателей эффекта Зеемана, который выступал с докладом о кинетической теории и движении электронов. И это только нобелевские лауреаты!

Однако в воздухе витало и отчаяние, исходившее в первую очередь от самого Гильберта. 

Последние несколько лет он с ужасом наблюдал, как теории материи становились все сложнее и сложнее. Они все больше полагались на запутанные выражения статистической механики — математического аппарата, позволяющего рассматривать облако газа не как монолитную воздушную сущность, а как огромный ансамбль независимо движущихся молекул. Эта идея сильно продвинулась в последние десятилетия благодаря работе австрийского физика Людвига Эдуарда Больцмана и строгому обоснованию предмета американским математиком Джозайей Уиллардом Гиббсом. 

Однако Гильберта тяготило переусложнение науки. Количественное описание газовых облаков, основанное на распределении вероятностей в огромных ансамблях частиц, может быть исчерпывающим, но также и изматывающим. Оно может быть точным, но при этом мучительно сложным. Статистическая механика — полная противоположность простоте. Ее трудно вычислять, еще труднее постигать и почти невозможно преподавать. Простая лужа рвотных масс дала бы большинству людей больше концептуальной ясности, чем строго описанный статистический ансамбль. А то, что противоречило простоте, противоречило всему, за что стоял Гильберт. Простота была для него как религия, и в годы перед Великой войной он убеждается в необходимости переосмыслить все заново. 

Не поймите неправильно — интерес Гильберта к прикладной математике продиктован не предпочтением прикладного анализа чистым абстрактным идеям. Он исходит из чувства долга и убеждений. Он служит Королеве Математике. Математика может многое предложить другим областям, таким как физика, считает он, и именно математика в конечном итоге раскроет молекулярные тайны материи. И не просто любая математика, а его математика. Его методы. Его подходы. Он убежден, что при упорном труде и достаточном времени он сможет раскрыть строение материи, создать основу единой теории всех физических сил и сделать для физики то, что его формальный аксиоматический подход сделал для геометрии: не что иное, как связать предмет воедино и довести его до совершенства. 

Только математик может сделать это, думает он. «Физика слишком сложна для физиков», — гласит его знаменитое высказывание.

Относительность не приходит одна

Греки использовали логические доказательства и первыми разработали аксиоматический метод, который Евклид довел до совершенства в своих знаменитых «Началах». Так что Гильберт в своих «Основаниях геометрии», опубликованных в 1899 году, вовсе не был первопроходцем аксиоматики. Не был он и дерзким новатором 12 лет спустя, когда начал думать о том, как аксиоматизировать прикладную тему вроде кинетической теории газов. Он следовал традиции, которой буквально тысячи лет. Сам Архимед пытался сделать нечто подобное с газами.

Но к началу Первой мировой войны Гильберт был единственным, кому удалось в одиночку успешно аксиоматизировать целую науку — геометрию. И он не собирался останавливаться. Пока он размышлял о прикладной физике, его мысли дрейфовали к чистому знанию: к возможности аксиоматизировать все — от элементарной арифметики до самых непостижимых областей прикладной математики. Вскоре он поверит, что вся математика может быть аксиоматизирована и систематически развита, и это могло бы стать решением проблем в основаниях математики.

Однако из-за своей сосредоточенности на физике и прикладной математике в годы после парижской лекции 1900 года Гильберт пребывал в счастливом неведении о том, что другие тоже размышляют об основаниях математики. За годы до войны об этом думал и Брауэр. Гильберт об этом ничего не знал. 

Поначалу Гильберт также не оценил то, что Рассел и Альфред Норт Уайтхед пытались сделать в «Основаниях математики» и как они стремились укрепить фундамент математики. Его интерес к их книге вспыхнул, когда было уже слишком поздно. Он погрузился в эту работу в декабре 1914 года, курируя аспиранта, писавшего диссертацию по математической логике. Гильберт впечатлен «Основаниями математики» и думает о том, как хотел бы пригласить в Геттинген Рассела — того 20-летнего паренька, которого он встретил в Париже много лет назад. Но из-за войны возможность даже обменяться письмами, не говоря уже о поездке через вражеские границы для личной встречи, на долгие годы станет невозможной. 

Возможно, оно и к лучшему. Вскоре он отвлекается на другой предмет — тоже прикладной, но гораздо более «барочный». Летом 1915 года физик Альберт Эйнштейн посещает Геттинген. Это его первая поездка в город. Он еще не знаменит на весь мир, как это будет через несколько лет, но в кругу математиков и ученых он уже рок-звезда. Он дает шесть гостевых лекций по общей теории относительности — физической концепции, описывающей массу, пространство и гравитацию. Она объясняет такие вещи, как гравитационные волны, и показывает, как гравитация искривляет свет, деформирует пространство и меняет ход времени в разных системах отсчета. 

Это поразительная тема, и лекции Эйнштейна имеют огромный успех — «событие», как называет их Гильберт. И никто в зале не взволнован больше него. Гильберт хватается за тему, мгновенно проникаясь к ней глубоким интересом. Он не верит своим ушам. Найти такую сложную задачу, требующую математического решения, все равно что выиграть в лотерею. А тут неожиданный суперприз: физическая теория, которая еще сырая, готова к анализу и отчаянно ищет свои фундаментальные уравнения. Относительность сама просится к нему в руки. 

Послушав Эйнштейна, Гильберт с энтузиазмом погружается в поиск уравнений общей теории относительности после того, и сам Эйнштейн этому только рад. Это прекрасно. Нет ничего лучше небольшой дружеской конкуренции в гонке за открытием. «К моей великой радости, мне удалось полностью убедить Гильберта и [других]», — вспоминает Эйнштейн. Относительность не приходит одна! 

Заинтересовать других относительностью — вот зачем Эйнштейн приехал в Геттинген в 1915 году. Большую часть двух предыдущих лет он бился над тем, как представить гравитацию как геометрию пространства-времени. Математически это требует набора общековариантных уравнений поля для описания гравитации на языке теории относительности. Но по состоянию на лето 1915 года эти уравнения все еще нужно было вывести.

Подробнее читайте:
Барди, Д. С. Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики / перевод с английского под научной редакцией Артема Смирнова. — Москва: Издательство Института Гайдара, 2026. — 464 с.